벡터의 미적분 응용

역학에 있어서 벡터의 곡선은 매우 중요합니다. 따라서 벡터를 이용하여 물리적 공식 또는 모델에 적용하여 알아보도록 하겠습니다. 

 

• 속도와 가속도

 

한 곡선 $C$에서의 시간 $t$에 대한 위치 벡터 $r(t)$가 있다 했을 때, 곡선 $C$에 대한 접선 벡터는 속도 벡터 $v$가 됩니다. 그리고 속도 벡터를 한번 더 미분했을 때는 가속도 벡터 $a$가 됩니다.

$$\textbf {v}(t)~=~\textbf {r}'(t)~,~~\textbf {a}(t)~=~\textbf {v}'(t)~=~\textbf {r}''(t)$$

 

일반적인 물체가 움직일 때는 접선 가속도뿐만이 아니라 법선 가속도도 가집니다. 따라서 전체 가속도 $a$의 표현은 다음과 같습니다.

$$\textbf {a}~=~\textbf {a}_{접선}~+~\textbf {a}_{법선}$$

위의 식을 이용했을 때 위치 벡터, 속도 벡터의 미분을 통해서 가속도 벡터를 표현할 수 있습니다.

속도 벡터는 위치 벡터를 미분한 것과 같다했습니다. 따라서 연쇄 법칙을 사용하면 단위 접선 벡터 $\textbf {u}(s)$ (매개변수로서의 호의 길이 - arc length 강의 참조)를 표현할 수 있습니다.

$$\textbf {v}(t)~=~\frac {d\textbf {r}}{dt}~=~\frac {d\textbf {r}}{ds}\frac {ds}{dt}~=~\textbf {u}(s)\frac {ds}{dt}$$

여기서 이 식을 한번 더 미분하겠습니다.

$$\textbf {a}(t)~=~\frac {d\textbf {v}}{dt}~=~\frac {d}{dt}(\textbf {u}(s) \frac {ds}{dt})~=~\frac {d\textbf {u}}{ds} (\frac {ds}{dt})^2~+~\textbf {u}(s) \frac {d^2s}{dt^2}$$

속도를 한번 더 미분한 결과는 가속도 벡터이고, 이 값은 위와 같습니다. 여기서 단위 접선 벡터 $textbf {u}(s)$는 크기가 1로 일정합니다. 따라서 $\frac {d\textbf {u}}{ds}$는 $\textbf {u}(s)$에 수직 하기 때문에 법선 가속도 벡터가 되며, 두번 째 항은 접선 가속도 벡터가 됩니다.

 

식을 정리하면 접선 가속도 벡터와 법선 가속도 벡터는 다음과 같이 정리됩니다.

$$\textbf {a}_{접선}=\frac{\textbf {a} \cdot \textbf {v}}{\textbf {v} \cdot \textbf {v}} \textbf {v} ~~~, ~~~\textbf {a}_{법선}=\textbf {a}-\textbf {a}_{접선}$$

 

 

• 구심가속도

 

$xy$평면 위에 있는 반지름이 $R$인 원 $C$ : $\textbf {r}(t)=[R~cos~wt,~R~sin~wt]$ 에서

속도벡터 $\textbf {v} = [-Rw~sin~wt,~Rw~cos~wt]$입니다. 이를 한번더 미분하면 

가속도 벡터 $\textbf {a} = [-Rw^2~cos~wt,~-Rw^2~sin~wt]=-w^2\textbf {r}$이 되겠습니다.

위의 식에서 $\textbf {a}~=~-w^2\textbf{r}$이므로 원점으로 향하는 가속도가 구심가속도입니다. 따라서 물체의 질량 $m$에 $\textbf {a}$를 곱하면 구심력($m \textbf{a}$)가 되고, 원심력은 구심력의 반대방향이므로 $-m \textbf{a}$입니다.