벡터의 도함수 ( derivatives )

벡터의 미적분을 하기에 앞서 양에 대한 함수인 스칼라함수, 벡터함수에 대해서 알아보고 벡터함수의 도함수에 대해서 또 앞서 말한 함수들의 실생활에서의 적용에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

• 함수 ( function )

- 스칼라 함수 

고교과정에서 많이들 봐온 대부분의 함수들이 스칼라 함수입니다. $f(P)$ = $f(x,y,z)$와 같이 쓸 수 있으며, 이러한 함수들은 공간 상의 모든 부분에 숫자가 대응되어있다고 보면 됩니다. 스칼라 함수를 대표적으로 사용한 예는 온도, 수압, 에너지의 공간상 분포가 있습니다.

 

 

 

- 벡터 함수

하나의 값에 대응하는 스칼라 함수와는 다르게 그 값이 벡터로 주어집니다. 다시 말해서 함수의 공간 상의 모든 부분이 벡터가 대응되어있다고 보면 됩니다. 벡터 함수는 v = v($P$) = [$v_1$($P$), $v_2$($P$), $v_3$($P$)] 과 같이 쓸 수 있으며, 옆 그림과 같이 회전체의 속도장이나 벡터로 표현될 수 있는 field에서 자주 사용되는 함수입니다.

 

 

 

• 벡터 함수의 도함수

$v'\left( t \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{v\left( t+\Delta t \right)-v\left( t \right)}{\Delta t}$ 다음과 같은 극한이 존재할 때, 벡터 함수 v($t$)를 $t$에서 미분가능 하다고 합니다. 이 벡터 함수 v'($t$)를 v($t$)의 도함수라고 부릅니다.

따라서 도함수 v'($t$)는 각 성분별로 미분함으로써 v'($t$) =  [$v_1$'($t$), $v_2$'($t$), $v_3$'($t$)] 다음과 같은 형태로 구해집니다. 

 

※ 벡터 함수의 편도 함수

벡터함수 $v=\left[ v_{1},\,v_{2},\,v_{3} \right]=v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k$ 가 $n$개의 성분으로 미분가능한 함수라고 했을 때 변수 $t_m$에 관한 v의 편도함수는 다음과 같습니다.

1차 편도 함수 : $\frac{\partial v}{\partial t_{m}}=\frac{\partial v_{1}}{\partial t_{m}}i+\frac{\partial v_{2}}{\partial t_{m}}j+\frac{\partial v_{3}}{\partial t_{m}}k$

 

연습문제

연습문제 1

r = [3 cos 2t, 3 sin 2t, 4t]에 대한 1차, 2차 도함수를 구하라

 

풀이

각 성분별로 한번, 두번씩 미분을 하면 1차, 2차 도함수를 구할 수 있습니다.

r' = [-6 sin 2t, 6 cos 2t, 4]

r'' = [-12 cos 2t, -12 sin 2t, 0]

 

 

연습문제 2

v($t_1$,$t_2$)= $a$cos$t_1$i + $a$$t_1$j+ $t_2$k 의 편도함수를 구하라

 

풀이

$\frac{\partial v}{\partial t_1}$=$-asin{t_1}$i + $acos{t_1}$j

$\frac{\partial v}{\partial t_2} $= k

 

참고 도서 Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.