수학 (Mathematics)7 스칼라장의 기울기 ( gradient ) 스칼라함수는 앞에서 말한 온도장, 기압장 등에 활용이 됩니다. 하지만 온도장, 기압장 등이 항상 일정하라는 법은 없습니다. 이와 같이 함수의 변화율을 나타내기 위해서 스칼라장의 기울기를 구해서 표현합니다. 즉 기울기는 스칼라장으로부터 벡터장을 얻을 수 있습니다. 기울기 정의 다음은 미분연산자 $\nabla$ ( nabla ) 입니다. 3차원 공간에서 스칼라 함수 $f$가 미분가능할 때, 스칼라 함수의 기울기는 grad $f$ ( ∇$f$ ) 로 표기합니다. 방향도함수 기울기의 정의에서 스칼라함수에 대하여 함수 $f$의 변화율을 표현했습니다. 이를 이용해서 공간에서의 $f$의 변화율을 찾을 수 있습니다. 방향도함수 $D_b~f$의 정의는 공간상의 점 $P$에서 벡터 $b$의 방향으로의 함수 $f$입니다. .. 2020. 3. 13. 벡터의 미적분 응용 역학에 있어서 벡터의 곡선은 매우 중요합니다. 따라서 벡터를 이용하여 물리적 공식 또는 모델에 적용하여 알아보도록 하겠습니다. 속도와 가속도 한 곡선 $C$에서의 시간 $t$에 대한 위치 벡터 $r(t)$가 있다 했을 때, 곡선 $C$에 대한 접선 벡터는 속도 벡터 $v$가 됩니다. 그리고 속도 벡터를 한번 더 미분했을 때는 가속도 벡터 $a$가 됩니다. $$\textbf {v}(t)~=~\textbf {r}'(t)~,~~\textbf {a}(t)~=~\textbf {v}'(t)~=~\textbf {r}''(t)$$ 일반적인 물체가 움직일 때는 접선 가속도뿐만이 아니라 법선 가속도도 가집니다. 따라서 전체 가속도 $a$의 표현은 다음과 같습니다. $$\textbf {a}~=~\textbf {a}_{접선}.. 2020. 3. 13. 벡터의 적분 ( integral ) 벡터에 대해 미분을 할 수 있으면 반대인 적분도 할 수 있습니다. 이번에는 벡터의 적분에 필요한 기본지식들을 알아보고 실제 벡터에 대한 적분을 해보도록 하겠습니다. “Give me a lever long enough and a fulcrum on which to place it, and I shall move the world. ” - Archimedes - 적분 개념의 시초는 너무나도 유명한 일화인 순금왕관의 진위여부를 알아낸 아르키메데스로부터 시작되었습니다. 아르키메데스는 현재의 적분과 비슷한 방식으로 도형의 면적이나 구의 면적을 구했습니다. 하지만 이 시기까지만 해도 무한대 개념에 대한 정립이 되어있지 않아 적분에 대한 개념도 없었습니다. 이후 무한대의 개념이 정립되기 시작하면서 여러 학자들에 의해.. 2020. 3. 12. 벡터의 도함수 ( derivatives ) 벡터의 미적분을 하기에 앞서 양에 대한 함수인 스칼라함수, 벡터함수에 대해서 알아보고 벡터함수의 도함수에 대해서 또 앞서 말한 함수들의 실생활에서의 적용에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 함수 ( function ) - 스칼라 함수 고교과정에서 많이들 봐온 대부분의 함수들이 스칼라 함수입니다. $f(P)$ = $f(x,y,z)$와 같이 쓸 수 있으며, 이러한 함수들은 공간 상의 모든 부분에 숫자가 대응되어있다고 보면 됩니다. 스칼라 함수를 대표적으로 사용한 예는 온도, 수압, 에너지의 공간상 분포가 있습니다. - 벡터 함수 하나의 값에 대응하는 스칼라 함수와는 다르게 그 값이 벡터로 주어집니다. 다시 말해서 함수의 공간 상의 모든 부분이 벡터가 대응되어있다고 보면 됩니다. 벡터 함수는 v = v($P$) .. 2020. 3. 12. 이전 1 2 다음
