수학 (Mathematics)7 스칼라장의 기울기 ( gradient ) 스칼라함수는 앞에서 말한 온도장, 기압장 등에 활용이 됩니다. 하지만 온도장, 기압장 등이 항상 일정하라는 법은 없습니다. 이와 같이 함수의 변화율을 나타내기 위해서 스칼라장의 기울기를 구해서 표현합니다. 즉 기울기는 스칼라장으로부터 벡터장을 얻을 수 있습니다. 기울기 정의 다음은 미분연산자 ∇ ( nabla ) 입니다. 3차원 공간에서 스칼라 함수 f가 미분가능할 때, 스칼라 함수의 기울기는 grad f ( ∇f ) 로 표기합니다. 방향도함수 기울기의 정의에서 스칼라함수에 대하여 함수 f의 변화율을 표현했습니다. 이를 이용해서 공간에서의 f의 변화율을 찾을 수 있습니다. 방향도함수 Db f의 정의는 공간상의 점 P에서 벡터 b의 방향으로의 함수 f입니다. .. 2020. 3. 13. 벡터의 미적분 응용 역학에 있어서 벡터의 곡선은 매우 중요합니다. 따라서 벡터를 이용하여 물리적 공식 또는 모델에 적용하여 알아보도록 하겠습니다. 속도와 가속도 한 곡선 C에서의 시간 t에 대한 위치 벡터 r(t)가 있다 했을 때, 곡선 C에 대한 접선 벡터는 속도 벡터 v가 됩니다. 그리고 속도 벡터를 한번 더 미분했을 때는 가속도 벡터 a가 됩니다. v(t) = r′(t) , a(t) = v′(t) = r″(t) 일반적인 물체가 움직일 때는 접선 가속도뿐만이 아니라 법선 가속도도 가집니다. 따라서 전체 가속도 a의 표현은 다음과 같습니다. $$\textbf {a}~=~\textbf {a}_{접선}.. 2020. 3. 13. 벡터의 적분 ( integral ) 벡터에 대해 미분을 할 수 있으면 반대인 적분도 할 수 있습니다. 이번에는 벡터의 적분에 필요한 기본지식들을 알아보고 실제 벡터에 대한 적분을 해보도록 하겠습니다. “Give me a lever long enough and a fulcrum on which to place it, and I shall move the world. ” - Archimedes - 적분 개념의 시초는 너무나도 유명한 일화인 순금왕관의 진위여부를 알아낸 아르키메데스로부터 시작되었습니다. 아르키메데스는 현재의 적분과 비슷한 방식으로 도형의 면적이나 구의 면적을 구했습니다. 하지만 이 시기까지만 해도 무한대 개념에 대한 정립이 되어있지 않아 적분에 대한 개념도 없었습니다. 이후 무한대의 개념이 정립되기 시작하면서 여러 학자들에 의해.. 2020. 3. 12. 벡터의 도함수 ( derivatives ) 벡터의 미적분을 하기에 앞서 양에 대한 함수인 스칼라함수, 벡터함수에 대해서 알아보고 벡터함수의 도함수에 대해서 또 앞서 말한 함수들의 실생활에서의 적용에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 함수 ( function ) - 스칼라 함수 고교과정에서 많이들 봐온 대부분의 함수들이 스칼라 함수입니다. f(P) = f(x,y,z)와 같이 쓸 수 있으며, 이러한 함수들은 공간 상의 모든 부분에 숫자가 대응되어있다고 보면 됩니다. 스칼라 함수를 대표적으로 사용한 예는 온도, 수압, 에너지의 공간상 분포가 있습니다. - 벡터 함수 하나의 값에 대응하는 스칼라 함수와는 다르게 그 값이 벡터로 주어집니다. 다시 말해서 함수의 공간 상의 모든 부분이 벡터가 대응되어있다고 보면 됩니다. 벡터 함수는 v = v(P) .. 2020. 3. 12. 이전 1 2 다음
