벡터의 내적 (dot product)

 벡터의 내적은 대표적으로 일정한 힘의 일을 계산할 때 쓰입니다. 내적은 흔히들 스칼라곱으로 표현되기도 하며 다음과 같은 성질로 정의됩니다. 이제 내적의 정의 및 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

• 내적의 정의

a · b = |a||b|$cos r$      a≠0, b≠0

a · b = 0                    a=0 또는 b=0

이렇게 두 벡터 a와 b의 길이와 사잇값 $r$의 곱으로 정의됩니다. 또한 두 벡터 a와 b의 성분으로 내적을 계산하면 a· b=$a_1$$b_1$+$a_2$$b_2$+$a_3$$b_3$ 입니다.

벡터 a와 벡터 b의 시작점을 일치시킬 때 $cos r$에서 $r$의 범위는 0≤$r$≤$\pi$입니다. 특히 $r$의 값이 0일 때는 두 벡터의 내적이 0이 되고 두 벡터는 직교하게 됩니다.  

 

inner product

 

• 내적의 성질

임의의 벡터 a, b, c에 대하여 스칼라 값 $p$, $q$에 대해 아래와 같은 식이 성립됩니다.

① ($p$ a+$q$ b) · c = $p$ a · c + $q$ b · c     

② a· b = b· a 

①식 같은 경우에는 비례관계를 가지는 선형성을 보이고, 분배법칙도 만족합니다. 

②식 같은 경우에는 교환 법칙을 만족하는 대칭성의 성질을 띤다.

 

이렇게 내적의 정의와 성질을 이용해서 도출할 수 있는 등식이 있습니다. 이 등식은 힐베르트 공간에서 편미분 방정식, 양자역학, 푸리에 분석과 같은 곳에서 매우 중요합니다. 배우기 전에 한번 자세히 보고 증명해보는 것도 괜찮은 것 같습니다. 

 

- Cauchy-Schwarz 부등식

|a · b|≤|a||b|

- 삼각 부등식

|a + b|≤|a|+|b|

- 평행사변형 등식

|a + b|$^2$+|a - b|$^2$=2|a|$^2$+2|b|$^2$

 

 

• 내적의 응용

- 사잇각 구하기

 

 

내적의 정의에서 a · b= |a||b|$cos r$ 을 이용하면 옆처럼 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있게 됩니다. 

 

 

- 힘(F)이 한 일($W$)

 

 

대표적인 벡터의 내적을 적용한 부분입니다. 일정한 힘F가 변위 d만큼 이동했을 때 힘이 한 일은 $W$ = |F||d| $\cos a$=F · d 입니다. 위 내적 정의에서 봤던 것 처럼 각도 $a$에 따라 달라집니다. 물론 $a$가 90일 때는 힘이 한 일은 0이 됩니다.

 

 

- 평면 표현

벡터 a=[$a_1$, $a_2$, $a_3$] ( a≠0 ), r=[$x$, $y$, $z$]이고 c를 임의의 상수라 할 때 공간상에서 임의의 평면은 a · r = $a_1$$x$+$a_2$$y$+$a_3$$z$ = c 로 표현됩니다.

 

 

• 연습문제

점 A : (1, 0, 2)로부터 평면 P : 3$x$ + $y$ + $z$ = 9까지 거리를 구하라.

 

 

 

 

답

Hesse의 방정식에 의하여 a=[3, 1, 1], |a|=$\sqrt11$ 이다. (1, 0, 2)로부터 평면 위 임의의 점 ($x$, $y$, $z$)까지의 벡터는 [1-$x$, -$y$, 2-$z$]이고 3$x$+$y$+$z$ = 9이므로 $n$ · $r$ = 3(1-$x$)-2$y$+(2-$z$) = 5-($x$+2$y$+$z$) = -4이다. 따라서c=4가되므로 평면까지의 거리는 4/$\sqrt11$