벡터의 기초 ( The basis of a vector )

벡터의 개념은 네덜란드 플랑드르의 수학자이자 기술자인 시몬 스테빈이 벡터의 개념을 처음 도입했습니다. 이후 뉴턴, 가우스 등 여러 학자들에 의해서 벡터의 발전이 있어왔습니다. 기하학에서 가장 기본적으로 쓰이는 벡터란 무엇인지 벡터의 정의와 특징을 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

• 벡터의 정의

벡터의 사전적 정의는 '크기와 방향을 가지고 있는 양'입니다. 흔히 양(quantities)에 대해서는 스칼라, 벡터로 구분되어있습니다. 스칼라는 크기만으로 나타내는 양이고 벡터는 크기뿐만 아니라 방향까지 나타내는 양입니다.

 

 

2D representation of the vector

 

위 그림과 같이 평행 이동한 삼각형에서 벡터를 볼 수 있습니다. 벡터는 점 P(initial point)와 점 Q(terminal point) 그리고 화살표(방향 성분)로 구성되었습니다. 여기서 화살표의 길이를 벡터 PQ의 길이(크기)라 합니다.

 

 

 

 

그리고 두 벡터가 상등하기 위해서는 벡터의 크기뿐만 아니라 방향(평행 여부)까지 같아야 합니다.

 

$\begin{aligned} \vec{a} &=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}\right] & & a_{1}, a_{2}, a_{3}=\text { 스칼라 } \\ &=a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k} & & i, j, k=\text { 벡터 } \end{aligned}$

벡터를 다음과 같이 적을 수 있습니다. 크기가 1인 벡터를 단위 벡터(unit vector)라 하고 i=[1,0,0], j=[0,1,0], k=[0,0,1]입니다. 따라서 벡터는 임의의 상수 c를 곱했을 때 각 성분에 c를 각각 곱한 스칼라 곱으로 얻어질 수 있습니다.

 

 

 

두 벡터의 합

이와 같이 벡터 a, b를 단위벡터를 이용해 위치 벡터로서 나타낼 수 있고 각 성분에 해당하는 스칼라 양으로 계산을 할 수 있습니다. 벡터 합의 기본 성질로는 교환 법칙, 결합 법칙이 성립합니다.

 

 

 

※ i, j, k를 이용한 벡터 표현

 

i, j, k의 벡터 표현

모든 벡터 a의 집합에는 벡터 합과 스칼라곱이라는 두 개의 대수적 연산자를 가진 3차원 실수 벡터 공간 $R^{3}$을 이룹니다. 여기서 i, j, k를 실수 벡터 공간의 표준 기저라고 합니다. 즉 쉽게 설명하자면 i는 x축을 향하는 크기가 1인 벡터, j는 y축을 향하는 크기가 1인 벡터, k는 z 축을 향하는 크기가 1인 벡터라고 생각하면 이해하기 쉬울 것 같습니다.

각각의 단위벡터에 임의의 숫자를 스칼라곱을 하면 우리가 일반적으로 알고 있는 벡터의 형태를 표현할 수 있습니다.

 

 

 

• 연습문제